Ой, раз вам это интересно, я тогда расскажу, окей?
В том, что сумма по всем четным числам равна минус единице, на самом деле больше смысла, чем кажется. Можно даже называть это общепризнанным!
Вы знаете, что значит "сумма бесконечного ряда" - это предел последовательности частичных сумм. Так вот, рассмотрим вместо этого произвольное абстрактное понятие "суммы ряда" - обобщенная сумма - любое отображение, сопоставляющее некоторым рядам какие-то числа. Как водится, у абстрактного понятия предполагаются свойства-аксиомы, которые делают его похожим на собственно суммирование ряда. Это линейность (в обычном смысле), стабильность (означает, что можно вытаскивать из ряда конечное число членов), и регулярность (означает, что для сходящихся рядов обобщенное суммирование совпадает с обычным). Видно, что для обобщенного суммирования, обладающего первыми двумя свойствами, рассуждения про сумму ряда четных чисел имеют смысл.
И конкретный пример обобщенного суммирования, для которого явно сумма четных чисел равна чему она равна: сумму ряда определим как значение в единице функции-степенного ряда с коэффициентами-членами ряда. Давайте придадим определению корректность. Конечно, если ряд расходится, то функция в единице не определена. Но ее аналитическое продолжение (оно единственно, помните, да?) может существовать, и быть в единице определенным. Например, суммой степенного ряда для ряда четных f(x) = 1 + 2x + 4x квадрат + ... , будет функция 1/(1-2x), определенная на круге |x|<1/2. Нетрудно увидеть, что ее аналитическиим продолжением на всю комллексную плоскость с полюсом 1/2 будет функция,заданная той же формулой, и в единице она равна -1.
Бтв, согласно этому определению суммы, сумма всех положительных чисел равна, не больше не меньше, -1/12. Аналитическим продолжением в этом случае будет дзета-функция Римана, та самая, за ответ на один старый вопрос о которой вам дадут лимон баксов и вечную славу!
А еще можно разрезать шарик на пять частей и сложить из них два таких же как был! Это в двух словах не расскажешь (а, неа, вообще, можно), но тоже в каком-то смысле правда!