0.999... = 1?

[NortUS]

Ну.... это софистика...

Если кого-то пугает бесконечность - я ж переформулировал - найти предел отношения при бесконечном возрастании отрезка...

[trampler]

Норт, при прыжке на уже потухшее число оно не загорается?

(это я так, на всякий случай, а вообще с инверсией было бы более адово)

Вот задача-лемма:

Лягушка сидит в нуле. С какой вероятностью она "погасит" лампочку на минус единице?

Очевидно, Sum[n=1,inf] ( 2^(1-2n) ) = 2/3

[NortUS]

Нет, не загорается.

Лемма неверно решена - хоть и подход интересен - ты рассматриваешь 2^n возможных комбинаций прыжков и считаешь сколько этих комб попадает в минус единицу... Я решал по другому - но ты распиши свое решение...

[trampler]

Хмм.. вроде тупо в лоб решал: вероятность прыжка с "0": 1/2, с позиции "2": 1/2*1/2*1/2 = 1/8 и т.д. 1/(2^(2n-1), вроде так

[NortUS]

Прямой прыжок с 0 - 1/2

обратный прыжок с 2 - 1/2*(1/2)^3 (прыжок на +2 и 3 прыжка на -1)

вообще имеем n+(2n+1)=3n+1 прыжок

сумма ряда 4/7...

Но ты не учел такую фишку - прыжок на 2, обрат на 1, прыжок на 3 и затем обраты....

То есть 4/7 - это вероятность взять минус единицу без "петель".

Теперь нужно также просуммировать ряды с одной петлей (петля добавит 3 прыжка), с двумя и т.д.... Это наверное возможно

Подсказка - вероятности с 2 попасть 1, с 1 на 0 РАВНЫ вероятности попасть с 0 на -1.

[NortUS]

Решаю по трамплеровски

1 прыжок - 1/2

4 прыжка +--- (1/2)^4=1/16

7 прыжков ++----- +-+---- +--+--- (3) (1/2)^7*3=3/128

10 прыжков

+++------- ++-+------ ++--+----- ++---+---- ++----+--- (5)

+-++------ +-+-+----- +-+--+---- +-+---+--- (4)

+--++----- +--+-+---- +--+--+--- (3) = 12 (1/2)^10*12=12/1024

13 прыжков

7+6+5+4+3

6+5+4+3

5+4+3

=55 (1/2)^13*55=55/8192

Частичные суммы

S(1)=1/2=0,5

S(4)=1/2+1/16=9/16=0,5625

S(7)=9/16+3/128=75/128=0,5859375

S(10)=75/128+12/1024=612/1024=0,59765625

S(13)=4951/8192=0,6043701171875 - это уже близко к верному ответу... но ХЗ как комбинаторно рассчитать число комбинаций прыжков... (ща покушаю и шарахну схемой Беллмана - должно прокатить)

[TeppIe]

конечно же 0.(9)!=1 в смысле не равно

 ! 

Предупреждение:

+20% - спор после предъявления трех доказательств - учи матчасть

разочарован, больше ни слова. тсс.. Макс

[TeppIe]

NortUS, на счет лягушки.

Как вычислению основной задачи поможет знание вероятности закрытия -1 при лягушке в нуле?

Просто об основной задаче я еще не размышлял, а для леммы вывел свою формулу, ответ по ней правда сложно получить ручным счетом.

[TeppIe]

Подсказка - вероятности с 2 попасть 1, с 1 на 0 РАВНЫ вероятности попасть с 0 на -1.

Докажи. Кстати, сам-то ты знаешь правильный ответ?

На счет закрытия -1.. Лень искать знак суммы на клаве и шрифты, потому словами напишу

(3m)!*2m

------------------------------------ - это слагаемое

3*(3m-1)*m!*(2m)!*2^(3m-2)

таких надо взять бесконечно при m от 1 и до бесконечности, и все сложить - это будет вероятность закрытия -1.

При m=1 будет 1/2 - вероятность для 1 шага

При m=2 будет слагаемое 1/4 - вероятность для 2 шага, которому в моей схеме соответствует 4 прыжка, с учетом всех петель (хотя о петлях я вообще не думал)

При m=3 и 7 прыжках будет 21/128

Предел если взять то будет хз, наверно 0, а может и нет, не охота считать.

Ахтунг, при сложении уже четырех слагаемых выходит 1.001342773.., потому либо у мня ошибка, либо 100% закрытие! Не знаю

[TeppIe]

Я нашел ошибку, буду исправлять :yappi: