Просьбы

[X-Reiless]

Нужна помощь тех, кто еще не совсем забыл школьный курс тригонометрии.

Задачка.

Дается прямоугольник A1B1C1D1, известны длины сторон этого прямоугольника и угол а1 (рис.1). Известно также, что этот прямоугольник вписан в некий прямоугольник WXYZ (я даже подозреваю, что WXYZ - квадрат).

В результате хитрых манипуляций длины сторон прямоугольника A1B1C1D1 были изменены таким образом, что он остался вписанным в прямоугольник WXYZ, но угол а1 поменялся на а2 (рис.2). Длины сторон измененного прямоугольника A2B2C2D2 также известны.

Меня интересует, как по этим данным можно вычислить угол а2.

[Giltoniel]

Лик, я попробую ещё через знакомых поискать. Но сейчас никто больше в голову не приходит =(.

[Kапеллан]

по теореме синусов в треугольнике D1ZC1, зная сторону D1C1, угол С1D1Z=а1 и угол Z=90 находим все стороны.

Сумма а1, С1D1A1 и WD1A1 = 180 => WD2A2 = 90-а1.

Всё по той же теореме точно так же находим все стороны.

Треугольники D1C1Z и WD1A1 соотв. равны A1B1X и B1C1Y. Так мы находим все стороны WXYZ.

Переходим ко второму рисунку. Чтобы найти угол, в лоб найдём все стороны серых треугольников.

имеем 4 неизвестных - A2W (она равна С2), WD2=B2Y, D2Z=XB2, ZC2=A2X.

Тут мы можем записать парочку теорем пифагора

1)A2W^2+WD2^2=известная нам величина A2D2^2

2)D2Z^2+ZC2^2=известная нам величина C2D2^2

и ещё парочку уравнений

1)A2W + ZC2 =XW

2) WD2+ D2Z =WZ

Получаем систему из 4 уравнений и 4 неизвестных, решаем, находим все стороны всех треугольников на втором рисунке, по определению находим синус А2. Арксинус этого синуса и будет величиной угла А2.

Проверяй, не напутал ли я)

[X-Reiless]

Капеллан, спасибо огромное за потраченное время

Система уравнений немного не катит. Нельзя ли вычислить а2 одной формулой типа

a2=arcsin (плюсы-минусы-синусы-косинусы)

[Kапеллан]

Тогда можно просто доказать что все серые треугольники на 1 рисунке подобны. - во всех этих треугольниках все углы равны - 90, 90-а1, а1.

На 2м они тоже подобны.

Коэффициенты подобия ищем исходя из теоремы синусов и известных нам 4-х сторон.

И, если плясать от этого, можно вроде без системы обойтись.

[X-Reiless]

Да мне и не надо ничего не доказывать

У меня для этой задачи сугубо практическое применение. Полученную формулу я использую при анимации изображений, и если результат будет выглядеть подходяще, это будет для меня лучшим доказательством

[Kапеллан]

Ну, тогда когда будешь через подобие находить все стороны, просто не перепутай, какая сторона какой соответствует)

[Ashley]

повозиться с LaTeX это пользаа

[X-Reiless]

Не знаю, что такое LaTeX, но спасибо, Ashley, буду пробовать

[Lance]

Счастлив тот, кто не знает, что такое ЛаТеКСХ.